Мягков родился в Ленинграде 8 июля 1938 года. В 1960-ом закончил Школу-студию МХАТ и начал работать в театре «Современник». В кино Мягков дебютировал в 1965-м, исполнив главную роль в комедийном фильме Элема Климова «Похождения зубного врача» вместе с Алисой Фрейндлих.
Актер наиболее известен по главным ролям в картинах режиссера Эльдара Рязанова «Ирония судьбы, или С легким паром!» и «Служебный роман». Также он снялся в его лентах «Гараж» и «Жестокий романс».
Помимо этого, Мягков сыграл в таких фильмах, как «Дни Турбиных», «На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-Бич опять идут дожди», «Послесловие», «Надежда» и «Серебряные трубы». Звание народного артиста РСФСР актер получил в 1986 году. В мае 2019-го ему присвоили Орден «За заслуги перед Отечеством» III степени.